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中考名师:数学综合题解题思路分析         ★★★

中考名师:数学综合题解题思路分析

  □黄浦区教师进修学院  李建国

  纵观近五年的上海市数学中考试题,我们不难发现,数学综合题的重点都放在高中继续学习必须的函数问题上。此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变,对给定的图形(或其一部分)施行平移、翻折和旋转的位置变化,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。其特点是:注重考查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变,能够考查学生分析问题和解决问题的能力,有一定难度,但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题出现,相当于几个台阶,这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口,有利于考生正常水平的发挥。而通过层层设问,拾级而上,逐步深入,能够使一部分优秀学生数学水平得到体现。数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。

  函数型综合题

  这通常是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。

  初中已知函数有①一次函数 (包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线;③二次函数,它所对应的图像是抛物线。

  求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。

  几何型综合题

  这通常是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式 (即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,探索研究的一般类型有:①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形;②四边形是菱形、梯形等;③探索两个三角形满足什么条件相似;④探究线段之间的位置关系等;⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等;⑥直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。

  求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。

  找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似等。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。

  而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。

  2010年中考数学综合题启示我们在进行综合思维的时候要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。

  2010年的综合题没有了进一步的探究题,没有翘尾巴的难度,试题设计保留较多的解题途径,使分析问题、解决问题的基本功和灵活性都得到较充分的考查,这样既有利于提升整卷效度,又便于控制试题及整卷的难度,有利于提升对于课堂教学及复习的正面指导意义。它的意义很明确就是要指导初中数学教学不要把试题无限制加深、加难,而把教学的重点放在提高学生的数学素养上,这样有利于推进中小学实施素质教育;有利于推进中小学课程改革;有利于促进初中教育教学改革;有利于切实减轻中学生过重的学业负担;有利于培养学生的创新精神和实践能力;有利于促进学生全面和谐、富有个性的发展;有利于学生在高中教育阶段的可持续发展。

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